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已知圆O:x2+y2=4,动点P(t,0)(-2≤t≤2),曲线C:y=3|x-t|.曲线C与圆O相交于两个不同的点M,N
(1)若t=1,求线段MN的中点P的坐标;
(2)求证:线段MN的长度为定值;
(3)若t=
4
3
,m,n,s,p均为正整数.试问:曲线C上是否存在两点A(m,n),B(s,p)(11),使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(k>1)?若存在请求出所有的点A,B;若不存在请说明理由.
(1)设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<1<x2),P(x0,y0
x2+y2=4
y=3|x-1|
⇒10x2-18x+5=0

所以x0=
x1+x2
2
=
9
10
y0=
y1+y2
2
=
3(x2-x1)
2
=
3
(x1+x2)2-4x1x2
2
=
31
5

所以p(
9
10
31
5
)
---------------------------(6分)
(2)MN2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8-2x1x2-2y1y2
x2+y2=4
y=3|x-t|
⇒10x2-18tx+9t2-4=0

x1+x2=
9t
5
x1
x2
=
9t2-4
10

y1y2=9(t-x1)(x2-t)=9[-t2+t(x1+x2)-x1x2]=-
9t2
10
+
18
5

MN2=
8
5
MN=
2
10
5
为定值.---------------------------------(4分)
(3)设p(x0y0),
x20
+
y20
=4

(x0-m)2+(y0-n)2
(x0-s)2+(y0-t)2
=k(k>1)⇒
4+m2+n2-2mx0-2ny0=k2[4+s2+p2-2sx0-2py0]

?
2m=k22s
2n=k22p
4+m2+n2=k2(4+s2+p2)
消去m,n得s2+p2=
4
k2
<4

所以s=p=1,k=
2
,此时m=n=2,又A(2,2),B(1,1)在曲线C上
所以仅有A(2,2),B(1,1)符合.----------------------------------------(6分)
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A.8B.4
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2
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4-y2
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