Question

已知圆x²+y²=9，从这个圆上任一点P向x轴作垂线PP′，点P′为垂足，点M在PP′上，并且

PM

=

1

2

MP′

．
（1）求点M的轨迹．
（2）若F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)求|MF₁||MF₂|的最大值．

Answer 1

分析：（1）设P（m，n），则P'（m，0）．设M（x，y），利用题中的向量等式算出P（x，

3

2

y），再将P的坐标代入x²+y²=9，化简即可得出点M的轨迹方程．
（2）由（1）的结论，得到点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆．再利用椭圆的定义与基本不等式加以计算，可得|MF₁||MF₂|的最大值．

解答：解：（1）根据题意，设P（m，n），
则P'（m，0），
设M（x，y），由

PM

=

1

2

MP′

可得

x=m y= 2 3 n

，即

m=x n= 3 2 y

将P（x，

3

2

y）代入x²+y²=9，可得x²+（

3

2

y）²=9，
化简得

x2

9

+

y2

4

=1，即为点M的轨迹方程．
（2）由（1）得M的轨迹方程

x2

9

+

y2

4

=1，c=

a2-b2

=

5

．
∴点M的轨迹是以F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)为焦点的椭圆．
根据椭圆的定义，可得|MF₁|+|MF₂|2a=6，
∴|MF₁||MF₂|≤（

|MF1|+|MF2|

2

）²=9，
当且仅当|MF₁|=|MF₂|=3时，|MF₁||MF₂|的最大值为9．

点评：本题给出圆上的动点满足的条件，求点M的轨迹方程并依此求|MF₁||MF₂|的最大值．着重考查了椭圆的定义与标准方程、向量的坐标运算和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．