Question

5．在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），P（x，y）为平面上一动点，P到直线x=2的距离为d，$\frac{|PM|}{d}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，直线OD与直线x=2交点的纵坐标为1，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两点间距离公式、点到直线的距离公式，根据$\frac{|PM|}{d}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）直线OD的方程为y=$\frac{1}{2}x$，由点差数求出直线l的斜率，进而其方程设为y=-x+m，m≠0，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$，得：3x²-4mx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件，能求出△OAB面积的最大值及此时直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），P（x，y）为平面上一动点，
∴|PM|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∵P到直线x=2的距离为d，∴d=|x-2|，
∵$\frac{|PM|}{d}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{|PM|}{d}$=$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
整理，得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∴点P的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）∵不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，
线段AB的中点为D，直线OD与直线x=2交点的纵坐标为1，
∴直线OD的方程为y=$\frac{1}{2}x$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），其中${y}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{0}$，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{2{x}_{0}}{2•2{y}_{0}}$=-1，
∴直线l的方程为y=-x+m，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$，整理，得：3x²-4mx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆有两个不同的交点且不过原点，
∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，
解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，且m≠0（*）
由韦达定理，得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{2[（\frac{4}{3}m）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-2}{3}}$
=$\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$．
∵点O（0，0）到直线l的距离为：h=$\frac{\sqrt{2}|m|}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}h|AB|$=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}|m|•\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$$≤\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当m²=$\frac{3}{2}$，即m=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立，满足（*）式，
∴△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时直线l的方程为y=-x$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值及对应的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、椭圆性质的合理运用．