Question

已知在△ABC中，A、B、C成等差数列，
（1）证明：2

BA

•

BC

=b²-（a-c）²；
（2）∠ACB=40°，点E在AC上，且EC=AB，求∠CBE的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，左式利用平面向量的数量积运算法则计算，右式整理后利用余弦定理化简，即可得证；
（2）在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，设∠CBE=θ，在三角形BCE中，利用正弦定理列出关系式，根据EC=AB，整理即可求出∠CBE的大小．

解答： （1）证明：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，即B=

π

3

，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，即a²+c²-b²=ac，
左式=2accosB=ac，右式=b²-a²+2ac-c²=-ac+2ac=ac，
∴左式=右式，
则2

BA

•

BC

=b²-（a-c）²；
（2）解：在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sin80°

=

AB

sin40°

，
设∠CBE=θ，在△BCE中，由正弦定理得：

CE

sinθ

=

BC

sin(θ+40°)

，
∵CE=AB，∴sinθsin80°=sin40°sin（θ+40°），即-

1

2

[cos（θ+80°）-cos（θ-80°）]=-

1

2

[cos（θ+80°）-cosθ]，
整理得：sin（θ-40°）=0，
则θ=40°．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．