Question

如图，在四棱锥P-ABCED中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=PA=2AD=4，
（1）若E为PC中点，求证：PA∥平面BDE
（2）求三棱锥D-BCP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥AP，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）求出S_△BDC=

1

2

×4×2×sin60°=2

3

，PD=

16-4

=2

3

，由VD-BCP=VP-DBC=

1

3

S△DBC•PD，能求出三棱锥D-BCP的体积．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC中点，
∵E是PC中点，∴OE∥AP，
又AP?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：∵S_△BDC=

1

2

×4×2×sin60°=2

3

，
PD=

16-4

=2

3

，
∴VD-BCP=VP-DBC=

1

3

S△DBC•PD=

1

3

×2

3

×2

3

=4．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．