Question

设函数f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R)，区间M=[-1，1]，集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数m的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．无数

Answer 1

分析：先判断函数f（x）是奇函数，题意可得，当-1≤x≤1时，函数的值域为[-1，1]．分m＞0和m＜0 两种情况，分别利用函数的单调性求得m的值，综合可得结论．

解答：解：由函数f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R) 可得f（-x）=

m(-x)

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
题意可得，当-1≤x≤1时，函数的值域为[-1，1]．
①若x∈[0，1]，且m＞0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函数在[0，1]上是增函数，故函数f（x）在区间M=[-1，1]上是增函数，
故有f（-1）=-1，f（1）=1，即

-m

2

=-1，

m

2

=1，解得 m=2．
②若x∈[0，1]，且m＜0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函数在[0，1]上是减函数，故函数f（x）在区间M=[-1，1]上是减函数，
故有f（-1）=1，f（1）=-1，即

-m

2

=1，

m

2

=-1，解得 m=-2．
③显然，m=0不满足条件．
综上可得，m=±2，故使M=N成立的实数m的个数为2，
故选B．

点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，函数的奇偶性、单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．