Question

13．已知函数y=f（x）（x∈R）是奇函数且当x∈（0，+∞）时是减函数，若f（1）=0，则函数y=f（x²-2x）的零点共有（　　）

• A． 4个
• B． 6个
• C． 3个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，结合函数的奇偶性与单调性可得函数在（0，+∞）与（-∞，0）上各有一个零点，则y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，对于y=f（x²-2x），依次令x²-2x=-1、0、1，解可得x的值，即可得函数（x²-2x）的零点数目，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，
当x∈（0，+∞）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点，
若函数y=f（x）是奇函数且当x∈（0，+∞）时是减函数，则f（x）在（-∞，0）为减函数，
又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点，
故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，
对于y=f（x²-2x），
当x²-2x=-1，解可得x=1，
当x²-2x=0，解可得x=0或2，
当x²-2x=1，解可得x=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$，
故y=f（x²-2x）的零点共有5个；
故选：D．

点评 本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f（x）的零点数目．