Question

已知曲线C₁：

x=-2+cost y=1+sint

 （t为参数），C₂：

x=4cosθ y=3sinθ

（q为参数）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）过曲线C₂的左顶点且倾斜角为

π

4

的直线l交曲绒C₁于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线；
（2）先求出过曲线C₂的左顶点且倾斜角为

π

4

的直线l参数方程，然后代入曲绒C₁，利用参数的应用进行求解的即可．

解答：解：（1）∵C₁：

x=-2+cost y=1+sint

 （t为参数），C₂：

x=4cosθ y=3sinθ

（q为参数），
∴消去参数得C₁：（x+2）²+（y-1）²=1，C₂：

x2

16

+

y2

9

=1，
曲线C₁为圆心是（-2，1），半径是1的圆．
曲线C₂为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．
（2）曲线C₂的左顶点为（-4，0），则直线l的参数方程为

x=-4+ 2 2 s y= 2 2 s

（s为参数）
将其代入曲线C₁整理可得：s²-3

2

s+4=0，设A，B对应参数分别为s₁，s₂，
则s₁+s₂=3

2

，s₁s₂=4，
所以|AB|=|s₁-s₂|=

(s1+s2)2-4s1s2

=

2

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点的距离公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．