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    （2012•福建模拟）阅读下面材料：
    根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
    sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
    由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
    令α+β=A，α-β=B有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2

    代入③得 sinA+sinB=2sin
    A+B
    2
    cos
    A-B
    2
    ．
    （Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
    A+B
    2
    sin
    A-B
    2
    ；
    （Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．
    （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
    分析：（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2
    ，即可证明结果．
    （Ⅱ）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判断三角形的形状．
    解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C，以及A+B+C=π，
    推出2sinAcosB=0.∠B=
    π
    2
    ．得到△ABC为直角三角形
    解答：满分（12分）．
    解法一：（Ⅰ）因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②…（2分）
    ①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．③…（3分）
    令α+β=A，α-β=B有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2
    ，
    代入③得cosA-cosB=-2sin
    A+B
    2
    sin
    A-B
    2
    ．…（6分）
    （Ⅱ）由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C可化为1-2sin2A-1+2sin2B=2sin2C，…（8分）
    即sin2A+sin2C=sin2B．…（9分）
    设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
    由正弦定理可得a2+c2=b2．…（11分）
    根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．…（12分）
    解法二：（Ⅰ）同解法一．
    （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C可化为-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin2C，…（8分）
    因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
    所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin2（A+B）．
    又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
    所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
    从而2sinAcosB=0．…（10分）
    又因为sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=
    π
    2
    ．
    所以△ABC为直角三角形．…（12分）
    点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
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