Question

6．已知幂函数f（x）=（m-1）x^a的图象过点（9，3），数列{a_n}各项均为正值，且a₁=$\frac{m}{2}$，a₂=m，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）（n＞1），则a₁₀=（　　）

• A． 2¹⁰
• B． 2⁴⁵
• C． 2⁸⁸
• D． 2⁵¹¹

Answer 1

分析 根据幂函数的对应仄函数f（x）的解析式，然后利用取对数法和构造法，构造等比数列，然后利用累加法进行求解，求出数列的通项公式即可得到结论．

解答 解：∵幂函数f（x）=（m-1）x^a的图象过点（9，3），
∴m-1=1，即m=2，此时f（x）=x^a，
由f（9）=9^a=3得3^2a=3，
则2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，
则a₁=$\frac{m}{2}$=$\frac{2}{2}$=1，a₂=m=2，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）=$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$，
等式两边取对数 lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=lg$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2}$lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
则$\frac{lg\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}{lg\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$=2，
则数列{lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$}是公比q=2的等比数列，
则lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1lg2，
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=${2}^{{2}^{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=${2}^{{2}^{2}}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
等式两边同时相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$═${2}^{{2}^{1}}$•${2}^{{2}^{2}}$•…${2}^{{2}^{n-1}}$=${2}^{2+{2}^{2}+…{2}^{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
即a_n=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
a₁₀=${2}^{{2}^{9}-1}$=2⁵¹¹，
故选：D．

点评 本题主要考查幂函数的性质以及数列通项公式的求解，利用取对数法和构造法，累加法是解决本题的关键．综合考查学生的运算能力．