Question

11．将函数g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数y=f（x）图象，若函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），且相邻两对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω，φ的值；
（2）求y=f（x）的单调增区间
（3）若$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数图象变换的法则，进行化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式．利用函数的周期以及函数经过的特殊点即可求出ω，φ的值．
（2）利用正弦函数的单调增区间，求得x的范围，即可得到函数的增区间．
（3）通过$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求f（A）的取值范围即可．

解答 解：（1）将函数g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）=sin（$\frac{ω}{2}$x-φ）的图象，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数y=f（x）=sin（$\frac{ω}{2}$x+$\frac{ωπ}{12}$-φ）图象，
∵若函数f（x）的图象相邻两对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．∴T=π，$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，∴ω=4．
函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$-φ），函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），
∴0=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$-φ），
∴φ=$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴ω=4，φ=$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈z，故函数的增区间为 （kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$），（k∈Z）
（3）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，∴0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴f（A）的取值范围：（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式．着重考查了三角函数图象的变换知识的应用，属于中档题．