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设函数g(x)=sin(
π
4
x-
π
6
)-2cos2
π
8
x)+1.
(1)求f(x)的对称中心,对称轴,单调增区间.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,
4
3
]时y=g(x)的最大值.
考点:三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题:计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析:(1)利用两角和与差的三角函数直接化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式,即可求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则有g(x)=f(2-x),化简g(x)的表达式,利用x∈[0,
4
3
],求出相位的范围,利用余弦函数的值域求解函数g(x)的最大值.
解答: (本题满分14分)
解:(1)函数f(x)=sin(
π
4
x)-2cos2
π
8
x+1
=
3
2
sin
π
4
x-
1
2
cos
π
4
x-cos
π
4
x
=
3
2
sin
π
4
x-
3
2
cos
π
4
x
=
3
sin(
π
4
x)…(4分)
∴f(x)的最小正周期为T=
π
4
=8…(6分)
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则有g(x)=f(2-x),
由题意得:g(x)=f(2-x)=
3
sn[
π
4
(2-x)-
π
3
]=
3
cos(
π
4
x+
π
3

当0≤x≤
4
3
时,
π
3
π
4
x+
π
3
3

因此y=g(x)在区间[0,
4
3
]上的最大值为:
3
cos
π
3
=
3
2
.…(14分)
点评:本题考查两角和与差的三角函数,正弦函数的周期余弦函数的值域的求法,考查计算能力,属于中档题.
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定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)的函数y=f(x)满足f(x)=f(2-x),(x-1)f′(x)>0.若x1+x2>2且x1<x2,则(  )
A、f(x1)<f(x2
B、f(x1)>f(x2
C、f(x1)=f(x2
D、f(x1),f(x2)大小不确定

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科目:高中数学 来源: 题型:

集合A={α|α=
6
,k∈Z},B={β|β=
3
+
π
6
,n∈Z}的关系是(  )
A、A?BB、A?B
C、A⊆BD、A=B

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下列命题中
①“数列{an}既是等差数列,又是等比数列”的充要条件是“数列{an}是常数列”;
②若命题“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;
③对命题p:存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p:对于任意的x∈R均有x2+x+1≥0;
④若两个非零向量
a
b
共线,则存在两个非零实数λ,μ,使λ
a
b
=
0

正确命题的个数是(  )
A、2B、3C、4D、5

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一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)为了进一步分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在(2500,3000元/月)收入段应抽出(  )人.
A、10人B、15人
C、20人D、25人

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=a-bsin(4x-
π
3
)(b>0)的最大值是5,最小值是1,求函数y=-
2bsinx
a
+5的最大值,并求出此时x的取值集合.

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已知函数f(x)=
|log5(1-x)|(x<1)
-(x-2)2+2(x≥1)
,则关于x的方程f(|x|)=a的实数个数不可能为(  )
A、3个B、4个C、5个D、6个

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科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)与g(x)是定义在同一区间D上的两个函数,若?x0∈D,使得|f(x0)-g(x0)|≤1,则称f(x)和g(x)是D上的“接近函数”,D称为“接近区间”;若?x∈D,都有|f(x)-g(x)|>1,则称f(x)和g(x)是D上的“远离函数”,D称为“远离区间”.给出以下命题:
①f(x)=x2+1与g(x)=x2+
3
2
是(-∞,+∞)上的“接近函数”;
②f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3的一个“远离区间”可以是[2,3];
③f(x)=
1-x2
和g(x)=-x+b(b>
2
)是(-1,1)上的“接近函数”,则
2
<b≤
2
+1;
④若f(x)=
lnx
x
+2ex与g(x)=x2+a+e2(e是自然对数的底数)是[1,+∞)上的“远离函数”,则a>1+
2
e

其中的真命题有
 
.(写出所有真命题的序号)

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已知半径为2的定圆C外一定点A,且AC=4,在圆上任取一点P,以AP为一边逆时针作等边△APQ,当P在圆上运动时,建立适当的极坐标系,求点Q轨迹的极坐标方程,并转化为直角坐标方程.

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