Question

（2012•盐城一模）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值

5

+2

．

Answer 1

分析：根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），可得

1

a2

+

4

b2

=1，利用椭圆几何量之间的关系，设

a2

c

=

1

t

，等式可转化为t²a⁴-（t²+1）a²+5=0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．

解答：解：设椭圆的焦距为2c，同时可设

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），
∴

1

a2

+

4

b2

=1
∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0
∴△=（t²+1）²-20t²≥0时，方程有解
∴t2-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
∴0＜

1

t

≤

5

-2，或

1

t

≥ 

5

+2
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），
∴椭圆的中心到准线x=

a2

c

＞1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值

5

+2
故答案为：

5

+2

点评：本题综合考查椭圆的标准方程与性质，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有一定的技巧．