分析 (1)代入k=1,化简不等式转化为不等式组求解即可.
(2)化简函数的解析式,利用函数为0,通过分类讨论求解函数的零点即可.
解答 解:(1)解由k=1,不等式f(x)<2g(x);
即(x+2)$\sqrt{x-1}$<2$\sqrt{x+2}$,变形等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\sqrt{(x+2)(x-1)}<2}\end{array}\right.$-----------------------------3分
解得1≤x<2.--------------------------------------------------5分
(2)函数F(x)=f(x)-(x-k)g(x)
=(x+k+1)$\sqrt{x-k}$-(x-k)$\sqrt{x-k+3}$
=$\sqrt{x-k}$[(x+k+1)-$\sqrt{(x-k)(x-k+3)}$],
令F(x)=0,所以x=k或x+k+1=$\sqrt{(x-k)(x-k+3)}$(x≥k).---------------------------------7分
由x+k+1=$\sqrt{(x-k)(x-k+3)}$(x≥k).
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{(4k-1)x=-5k-1}\end{array}\right.$--------------------------------------------------9分
当k=$\frac{1}{4}$时,此方程无解;--------------------------------------------------10分
当$k≠\frac{1}{4}$时,$x=\frac{-5k-1}{4k-1}$,$\frac{-5k-1}{4k-1}-k=\frac{-(2k+1)^{2}}{4k-1}$,
当k>$\frac{1}{4}$时,$\frac{-5k-1}{4k-1}<k$,所以此根不是原函数的零点,----------------------------------12分
当k$<\frac{1}{4}$且$k≠-\frac{1}{2}$时,此根为原函数的零点,当x=$-\frac{1}{2}$时,此根与k相等.--------------------------------------------------14分
故原函数的零点,当k<$\frac{1}{4}$且k$≠-\frac{1}{2}$时,原函数有两个零点;
当k$≥\frac{1}{4}$或k=$-\frac{1}{2}$时,原函数有一个零点.--------------------------------------------------16分.
点评 本题考查函数的零点与方程的根的关系,无理不等式的解法,考查分类讨论思想的应用,考查计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 6π | B. | 2π | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a<b<c | B. | a>b>c | C. | b<a<c | D. | b<c<a |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a1+a101>0 | B. | a2+a100<0 | C. | a3+a100≤0 | D. | a51=0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{4}$ | C. | 4$\sqrt{3}$ | D. | 4$\sqrt{6}$ |
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