Question

3．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任取三个不同点P₁、P₂、P₃，F为右焦点．使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，证明：$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$为定值．

Answer 1

分析 通过设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），0≤α₁＜$\frac{2}{3}π$，且α₂=α₁+$\frac{2}{3}π$，α₃=α₁+$\frac{4}{3}π$，点P_i在椭圆右准线l上的射影为Q_i（i=1，2，3），利用椭圆第二定义可知|FP_i|=|P_iQ_i|•e
=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c-|FP_i|cosα_i）•e、计算可知$\frac{1}{|F{P}_{i}|}$=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{2}$cosα_i）（i=1，2，3），进而利用和角公式计算即得结论．

解答 证明：记椭圆右顶点为A（2，0），设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），
不妨设0≤α₁＜$\frac{2}{3}π$，且α₂=α₁+$\frac{2}{3}π$，α₃=α₁+$\frac{4}{3}π$，
设点P_i在椭圆右准线l上的射影为Q_i（i=1，2，3），
∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，F（1，0），右准线l方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
由椭圆第二定义可知|FP_i|=|P_iQ_i|•e
=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c-|FP_i|cosα_i）•e
=$\frac{1}{2}$（3-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3），
∴$\frac{1}{|F{P}_{i}|}$=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{2}$cosα_i）（i=1，2，3），
∴$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$=$\frac{2}{3}${3+$\frac{1}{2}$[cosα₁+cos（α₁+$\frac{2}{3}π$）+cos（α₁+$\frac{4}{3}π$）]}，
又∵cosα₁+cos（α₁+$\frac{2}{3}π$）+cos（α₁+$\frac{4}{3}π$）
=cosα₁-$\frac{1}{2}$cosα₁-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα₁-$\frac{1}{2}$cosα₁+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα₁
=0，
∴$\frac{1}{{|F{P_1}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_2}|}}$+$\frac{1}{{|F{P_3}|}}$=$\frac{2}{3}$（3+$\frac{1}{2}•0$）=2．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件，注意解题方法的积累，属于中档题．