Question

已知函数f(x)=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx(a∈R)．
（1）当a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

3

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．于是x₁∈（0，2）时，f(x1)∈(-∞，

2

3

]从而存在x₂∈[1，2]，使g（x₂）=x₂²-2bx₂+4，且[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]下面考查g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．对字母b进行分类讨论：①当b≤1时，②当b≥2时，③当1＜b＜2时，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．（2分）
①当

1-a

a

＞1时，即0＜a＜

1

2

时，此时f（x）的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		减		增

（4分）
②当a=0时，f′(x)=

1-x

x2

，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（5分）
③当a＜0时，

1-a

a

＜0，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（6分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，
在（1，

1-a

a

）上是减函数．（7分）
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，f(x1)∈(-∞，

2

3

]．（8分）
从而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=

x

2 2

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

?[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g(1)=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去）..（11分）
②当b≥2时，，g（x）在[1，2]上递减，[g(x)]min=g(2)=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

∴b≥

13

6

..（12分）
③当1＜b＜2时，g(x)min=g(b)=4-b2≤-

2

3

，无解．（13分）
综上b≥

13

6

（14分）

点评：本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属于基础题．