【题目】设函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若 对 恒成立,求实数 的取值范围;
(Ⅲ)求整数 的值,使函数 在区间 上有零点.
【答案】解:(Ⅰ) ,
∴ ,∴所求切线方程为 ,即
(Ⅱ)∵ ,对 恒成立,∴ ,
设 ,令 ,得 ,令 得 ,
∴ 在 上递减,在 上递增,
∴ ,∴
(Ⅲ)令 得 ,当 时, ,
∴ 的零点在 上,
令 得 或 ,∴ 在 上递增,又 在 上递减,
∴方程 仅有一解 ,且 ,
∵ ,
∴由零点存在的条件可得 ,∴
【解析】(I)根据导数的几何意义可求;
(II)函数含参恒成立问题,转化成求函数的最值问题,先分离参数a<,再构造函数,求导,确定函数的单调性,进而得到函数g(x)的最小值即可;
(III)函数的零点就是方程的解,也是两个函数的交点,因此先转化成两个函数,确定交点位置, F ( x ) 的零点在 ( 0 , + ∞ ) 上,再根据函数的单调性确定零点个数,后根据零点存在性定理确定零点位置即可。
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【题目】已知y=f(x)(x∈R)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2时都成立,求m的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)将函数写成分段函数的形式,并画出函数的大致图像;
(2)求证:函数在上是增函数;
(3)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
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【题目】为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,
(1)求图中 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为 ,求 的分布列及均值.
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【题目】某车间的一台机床生产出一批零件,现从中抽取8件,将其编为, ,…, ,测量其长度(单位: ),得到如表中数据:
其中长度在区间内的零件为一等品.
(1)从上述8个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取3个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这3个零件长度相等的概率.
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【题目】已知圆C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0
(1)求m的取值范围;
(2)圆C与直线x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
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