Question

与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离相等的点（　　）

• A、有且只有1个
• B、有且只有2个
• C、有且只有3个
• D、有无数个

Answer 1

分析：由于点D、B₁显然满足要求，猜想B₁D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．

解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B₁D，并在B₁D上任取一点P，
因为

DB1

=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足为E，再作EF⊥A₁D₁，垂足为F，
则PF是点P到直线A₁D₁的距离．
所以PF=

a2+(1-a)2

；
同理点P到直线AB、CC₁的距离也是

a2+(1-a)2

．
所以B₁D上任一点与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离相等的点有无数个．
故选D．

点评：本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．