Question

（2013•南通三模）设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn(x)=

f(x)

xn

(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总有g_n（x）＜0，则称f（x）为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有[gn(x)]′≥0，则称f（x）为“n阶不减函数”（[gn(x)]′为函数g_n（x）的导函数）．
（1）若f(x)=

a

x3

-

1

x

-x(x＞0)既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”f（x），如果存在常数c，使得f（x）＜c恒成立，试判断f（x）是否为“2阶负函数”？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“n阶不减函数”的定义，设g1(x)=

f(x)

x

=

a

x4

-

1

x2

-1，将[g₁（x）]′≥0化简整理，可得a≤

1

2

x2在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0．再将a≤0代入g₁（x）表达式，可得g₁（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，由此可得满足条件的实数a的取值范围为（-∞，0]；
（2）分两步：①根据“存在常数c，使得f（x）＜c恒成立”，结合反证法证出g₂（x）≤0对任意x∈（0，+∞）成立，从而得到f（x）≤0任意x∈（0，+∞）恒成立；②根据“2阶不减函数”的性质，结合函数的单调性和不等式的性质证出方程f（x）=0无解．由以上两条，即可得到所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．

解答：解：（1）依题意，g1(x)=

f(x)

x

=

a

x4

-

1

x2

-1在（0，+∞）上单调递增，
故[g1(x)]′=-

4a

x5

+

2

x3

≥0恒成立，得a≤

1

2

x2，…（2分）
因为x＞0，所以a≤0．                 …（4分）
而当a≤0时，g1(x)=

a

x4

-

1

x2

-1＜0显然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0．                            …（6分）
（2）①先证f（x）≤0：
若不存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则g₂（x）≤0恒成立．  …（8分）
假设存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则有f（x₀）＞0，
由题意，当x＞0时，g2′(x)≥0，可得g₂（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞x₀时，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x02

恒成立，即f(x)＞

f(x0)

x02

•x2恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得f(x1)＞

f(x0)

x02

•x12＞m（其中m为任意常数），
这与f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当x＞0时，g₂（x）≤0，即f（x）≤0；        …（13分）
②再证f（x）=0无解：
假设存在正实数x₂，使得f（x₂）=0，
则对于任意x₃＞x₂＞0，有

f(x3)

x32

＞

f(x2)

x22

=0，即有f（x₃）＞0，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以f（x）=0无解，
综上得f（x）＜0，即g₂（x）＜0，
故所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．        …（16分）

点评：本题给出“n阶负函数”和“n阶不减函数”的定义，讨论了2阶不减函数”f（x）能成为“2阶负函数”的条件，着重考查了利用导数研究函数的单调性、反证法思想和不等式的性质等知识，属于中档题．