Question

8．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，解不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（1）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的单调性可看出x增大时，f（x）增大，从而判断出f（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上单调递增；
（2）根据f（x）为奇函数，f（x）又在原点有定义，从而有f（0）=0，这样即可得出a的值；
（3）该问是在（2）的条件下，从而知道f（x）为奇函数，且在R上单调递增，从而可由原不等式得到$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞-1$，这样解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R；
x增大时，2^x增大，$-\frac{2}{{2}^{x}+1}$增大，f（x）增大，∴f（x）在R上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递增；
（2）f（x）在R上为奇函数；
∴$f（0）=a-\frac{2}{{2}^{0}+1}=a-1=0$；
∴a=1；
（3）由上面知f（x）为奇函数，且在R上单调递增；
∴由$f（lo{g}_{\frac{1}{3}}x）+f（1）＞0$得，$f（lo{g}_{\frac{1}{3}}x）＞f（-1）$；
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞-1$；
即$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞lo{g}_{\frac{1}{3}}3$；
∴0＜x＜3；
∴原不等式的解集为：（0，3）．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数、对数函数的单调性．