Question

20．设直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$相交于A，B两点，与圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{6}$）
• B． （2，$\sqrt{7}$）
• C． （2，$\sqrt{6}$）
• D． （1，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=2，代入椭圆方程，得y²=6，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
代入椭圆方程相减，整理得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得2ky₀=-x₀，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=2，
即M的轨迹是直线x=2．
将x=2代入椭圆方程，得y²=6，
∴-$\sqrt{6}$＜y₀＜$\sqrt{6}$，
∵M在圆上，
∴（x₀-1）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+1≤7，
∵直线l恰有4条，
∴y₀≠0，
∴1＜r²＜7，
故1＜r＜$\sqrt{7}$时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，1＜r＜$\sqrt{7}$，
故选D．

点评 本题考查直线与椭圆、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．