Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，可得a_n+1=3S_n+1，再写一式，两式相减，结合a₁=t，即可求得t=1时，a₂=4a₁，数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，求出an+1=4n，我们可以得到b_n=log₄a_n+1=n，cn=an+bn=4n-1+n，求和时利用分组求和，可以得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n-1+1，②（n＞1）…（2分）
①-②：a_n+1-a_n=3（S_n-S_n-1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1…（4分）
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴当t=1时，a₂=4a₁，数列{a_n}是等比数列…（6分）
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，a_n+1=4a_n，
∴an+1=4n，…（8分）
∴b_n=log₄a_n+1=n，…（9分）cn=an+bn=4n-1+n，…（10分）
∴

Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)

=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)= 4n-1 3 + (1+n)n 2

…（12分）

点评：考查数列与函数的联系，考查等比数列的定义，考查分组求和，求和时根据通项的特点选择合适的方法是我们解决这类问题的关键所在．