Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a=1时，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时， ，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为 ，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）解：已知函数 ．

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即 恒成立．

设 ．

即g（x）的最大值小于0.

①当 时， ，

∴ 为减函数．

∴g（1）=﹣a﹣ ≤0

∴a≥﹣

∴

②a≥1时， ．

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．

③当 时，g（x）在 上为减函数，在 上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是

【解析】（1）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（2）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．