【题目】在四棱锥中,底面是直角梯形, , , ,平面平面.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)求平面和平面所成二面角(小于)的大小.
(Ⅲ)在棱上是否存在点使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)为的中点,
【解析】试题分析:
(Ⅰ)证明AB⊥平面PBC,利用面面垂直的性质,根据AB⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,即可得证;
(Ⅱ)取BC的中点O,连接PO,证明PO⊥平面ABCD,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面PAD的法向量.平面BCP的一个法向量,
利用向量的夹角公式,即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角;(Ⅲ)在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD,此时,证明平面MNC∥平面PAD,可得∥平面PAD.
试题解析:
(Ⅰ)∵,
∴,
∵面面,面面, 面,
∴面.
(Ⅱ)取的中点,连接,
∵,∴,
∵面面,面 , 面,
∴面,以为原点, 所在的直线为轴,在平面内过且垂直于的直线为轴, 所在的直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,
不妨设,由,
∴, , .
∴, .
设平面的法向量为,
∵,
∴,
令,则, .
∴.
取平面的一个法向量,
∴.
∴面和面的二面角(锐角)的大小为.
(Ⅲ)在棱上存在一点使得面,此时.
理由如下: 为的中点,
取的中点,连接, , ,
则, ,
∵,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形.
∴,
∵, ,
∴面面,
∵面,
∴面.
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【题目】如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)若M是CD上异于C、D的点.连结PM交CE于G,连结BM交AC于H,求证:GH∥PB.
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【题目】《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢《最强大脑》 | 不喜欢《最强大脑》 | 合计 | |
男生 | 15 | ||
女生 | 15 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
( I)请将上述列联表补充完整;判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;
( II)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.
下面的临界值表仅参考:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 . (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当 ,求f(x)的值域.
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【题目】如图,已知直线l1:kx+y=0和直线l2:kx+y+b=0(b>0),射线OC的一个法向量为 =(﹣k,1),点O为坐标原点,且k≥0,直线l1和l2之间的距离为2,点A、B分别是直线l1、l2上的动点,P(4,2),PM⊥l1于点M,PN⊥OC于点N;
(1)若k=1,求|OM|+|ON|的值;
(2)若| |=8,求 的最大值;
(3)若k=0,AB⊥l2 , 且Q(﹣4,﹣4),试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值.
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【题目】已知f(x)=2x2+bx+c.
(1)对任意x∈[﹣1,1],f(x)的最大值与最小值之差不大于6,求b的取值范围;
(2)若f(x)=0有两个不同实根,f(f(x))无零点,求证: ﹣ >1.
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【题目】设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求g(x)=f(3x+ )﹣1在[﹣ , ]上的值域.
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【题目】设等比数列{an}的前n项和为Sn , 已知a1=2,且4S1 , 3S2 , 2S3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=|2n﹣5|an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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