分析 (Ⅰ)求当a=2时,函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线方程;
(Ⅱ)求出g(x)的导数,分类讨论,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;
(Ⅲ)不等式g(x1)≥mx2恒成立即为$\frac{g({x}_{1})}{{x}_{2}}$≥m,求得$\frac{g({x}_{1})}{{x}_{2}}$=1-x1+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x1lnx1,令h(x)=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx(0<x<$\frac{1}{2}$),求出导数,判断单调性,即可得到h(x)的范围,即可求得m的范围.
解答 解:(Ⅰ)因为当a=2时,f(x)=-x2+2lnx,
所以f′(x)=-2x+$\frac{2}{x}$.
因为f(1)=-1,f'(1)=0,
所以切线方程为y=-1;
(Ⅱ)g(x)=x2-2x+alnx的导数为g′(x)=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$,
a≤0,单调递增区间是($\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$,+∞);单调递减区间是(0,$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$);
0<a<$\frac{1}{2}$,单调递增区间是(0,$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$),($\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$,+∞);
单调递减区间是($\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$,$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$);
a≥$\frac{1}{2}$,g(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
(Ⅲ)由(II)函数g(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),
0<a<$\frac{1}{2}$,x1+x2=1,0<x1<$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$<x2<1
$\frac{g({x}_{1})}{{x}_{2}}$=1-x1+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x1lnx1,
令h(x)=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx(0<x<$\frac{1}{2}$),h′(x)=$\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$+2lnx,
由0<x<$\frac{1}{2}$,则$\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$<0,
又2lnx<0,则h′(x)<0,即h(x)在(0,$\frac{1}{2}$)递减,
即有h(x)>h($\frac{1}{2}$)=-$\frac{3}{2}$-ln2,即m≤-$\frac{3}{2}$-ln2,
即有实数m的取值范围为(-∞,-$\frac{3}{2}$-ln2].
点评 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间,主要考查导数的几何意义,同时考查函数的单调性的运用,以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围,属于中档题.
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A. | $\frac{3}{2}$,2 | B. | $\frac{1}{2}$,1 | C. | $\frac{3}{2}$,1 | D. | $\frac{1}{2}$,2 |
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