Question

5．已知函数f（x）=-x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-2x+2x²，讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中函数g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且不等式g（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）不等式g（x₁）≥mx₂恒成立即为$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）因为当a=2时，f（x）=-x²+2lnx，
所以f′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$．
因为f（1）=-1，f'（1）=0，
所以切线方程为y=-1；
（Ⅱ）g（x）=x²-2x+alnx的导数为g′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，
a≤0，单调递增区间是（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；单调递减区间是（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$，单调递增区间是（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；
单调递减区间是（$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
a≥$\frac{1}{2}$，g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；
（Ⅲ）由（II）函数g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），
0＜a＜$\frac{1}{2}$，x₁+x₂=1，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1
$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=$\frac{x（x-2）}{（x-1）^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，则$\frac{x（x-2）}{（x-1）^{2}}$＜0，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即m≤-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．