Question

已知展开式的前三项系数成等差数列．则（1）n=    ；（2）展开式的一次项是    ；（3）展开式中的有理项是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用二项展开式的前三项系数成等差数列，由等差数列的特性列出关于n的方程，求出n的值，然后写出通项公式并进行化简，令字母的指数符合所需要的条件，从而确定特定项．
解答：解：（1）∵展开式的前三项系数成等差数列，
∴+=2×，
∴1+×=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=×=，
∴令4-r=1得r=4．
∴T₅=x=×x=x，
∴展开式的一次项是x．
（3）当令4-r∈Z时，T_r+1为有理项，因为0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理项有3项，分别是T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．
故答案为（1）8；（2）x；（3）x⁴，x，x^-2．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查等差数列的性质，考查方程思想与运算能力，属于中档题．