Question

14、关于二项式（x-1）²⁰⁰⁹有下列命题：
①该二项式中非常数项的所有各项系数的和为1．
②该二项式展开式的第5项是-C₂₀₀₉⁵x²⁰⁰⁴．
③该二项式中系数最大的项是第1005项．
④当x=2009时，（x-1）²⁰⁰⁹除以2009的余数为2008．
其中正确命题的序号是

①③④

．（把你认为正确的都填上）

Answer 1

分析：利用赋值求出各项系数和，判断出命题①正确；利用二项展开式的通项公式求出第5项，判断出命题②错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题③正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题④正确．

解答：解：此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为-1，故①正确；
其第5项T₅=C₂₀₀₉⁴x^2009-4•（-1）⁴=C₂₀₀₉⁴x²⁰⁰⁵，故②错；
该二项展开式共有2010项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1005项与1006项系数的绝对值最大，故③正确；
（x-1）²⁰⁰⁹=（x²⁰⁰⁹-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁷-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸x）-1=（x²⁰⁰⁸-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁷+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁶-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸-1）x+x-1．当x=2009时，被2009除的余数为2009-1=2008．故④正确．
故答案为①③④

点评：本题考查求展开式的系数和的方法是赋值法；考查二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；考查展开式的二项式系数的性质；考查二项式定理．