Question

椭圆的一个焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F₁，问抛物线y²=4x上是否存在一点M，使得M与F₁关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，
∵a²﹣b²=1  ①
又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为，
∴得上交点为，
∴  ②
由①代入②得2b⁴﹣b²﹣1=0，
解得b²=1或（舍去），
从而a²=b²+1=2
∴该椭圆的方程为    
（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，
∴直线l的方程为y=x﹣1，
由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F₁（﹣1，0），设M（x₀，y₀）与F₁关于直线l对称，
则得 
  解得，
即M（1，﹣2）
又M（1，﹣2）满足y²=4x，
故点M在抛物线上．  
所以抛物线y²=4x上存在一点M（1，﹣2），使得M与F₁关于直线l对称．