Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）=ax²（a＞0），使得

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（　　）

A．（2，+∞）

B．（3，+∞）

C．[4，+∞）

D．[8，+∞）

Answer 1

分析：由题设知，向量

OP

=（1，a），

OA

=（5，0），

OQ

=（k，ak²），

OA

| OA |

=（1，0），

OQ

| OQ |

=（

1

1+a2k2

，

ak

1+a2k2

），由

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)，知1=λ（1+

1

1+a2k2

），a=

akλ

1+a2k2

，由此能求出k的范围．

解答：解：由题设知，点P（1，a），Q（k，ak²），A（5，0），
∴向量

OP

=（1，a），

OA

=（5，0），

OQ

=（k，ak²），
∴

OA

| OA |

=（1，0），

OQ

| OQ |

=（

1

1+a2k2

，

ak

1+a2k2

），
∵

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)（λ为常数），．
∴1=λ（1+

1

1+a2k2

），a=

akλ

1+a2k2

，
两式相除得，k-1=

1+a2k2

，
k-2=a²k＞0
∴k（1-a²）=2，且k＞2．
∴k=

2

1-a2

，且0＜1-a²＜1．
∴k=

2

1-a2

＞2．
故选A．

点评：本题考查平面向量的综合运算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．