Question

2．设命题p：?x₀∈R，x₀²+2ax₀-a=0，命题q：?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1．
（1）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，命题p与命题q一真一假，化简命题p与命题q为真时实数a的取值范围，从而求得；
（2）由p，q均为真命题，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当命题P为真时，△=4a²+4a≥0，则a≥0或a≤-1，
当命题q为真时，（a+2）x²+4x+a-1≥0恒成立，
则a+2＞0，且16-4（a+2）（a-1）≤0，即a≥2．
由题意可得，命题p与命题q一真一假，
当p真q假时，a≤-1或0≤a＜2，
当p假q真时，无解，
则实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，2）；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，则p，q至少一个是真命题，
则a≥0或a≤-1或a≥2，解得：a≥0或a≤-1．

点评 本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题．