Question

现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到两个白球的概率是

3

28

．
（1）求乙盒中红球的个数；
（2）从甲盒中任取两个球，在所取的球中有一个是白球的条件下，求另一个也是白球的概率；
（3）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率．

Answer 1

分析：（1）先设乙盒中红球有x个，则乙盒中有（x+3）个球，分别计算从乙盒中任取两个球与取到两个白球的情况数目，进而可得取到的两个白球的概率，即可得

3

C 2 x+3

=

3

28

，解可得答案；
（2）根据题意，分别计算“从甲盒中任取两个球，都是白球”与“从甲盒中任取一球，是白球”的概率，进而由条件概率公式计算可得答案；
（3）用间接法：根据题意，分析可得，若甲盒中白球增加时，有2种情况：①从甲盒中取出了两个红球，而从乙盒中放回甲盒的为两个白球或一红一白，②从甲盒中取出了一红一白两个球，而从乙盒中放回甲盒的为两个白球，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得其概率，将其相加可得“甲盒中白球增加”的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案．

解答：解：（1）设乙盒中红球有x个，
则从乙盒中任取两个球，有C_x+3²种情况，而取到两个白球的情况有C₃²=3种；
取到两个白球的概率

3

C 2 x+3

=

3

28

，
即C_x+3²=28，解可得x=5，或x=-10（舍）
则乙盒中红球有5个；
（2）根据题意，从甲盒中任取两个球，有C₈²=28种情况，其中都是白球的情况有C₄²=6种，
有一个是白球的取法是16种，
故已知一个是白球的情况下，第二个也是白球的概率是

6

16+6

=

3

11

；
（3）若甲盒中白球增加了，则有2种情况：
①从甲盒中取出了两个红球，而从乙盒中放回甲盒的为两个白球或一红一白，
此时的概率为P₁=

C 2 4

C 2 8

×

C 2 3 + C 1 3 C 1 7

C 2 10

=

4

35

，
②从甲盒中取出了一红一白两个球，而从乙盒中放回甲盒的为两个白球，
此时的概率为P₂=

C 1 4 C 1 4

C 2 8

×

C 2 4

C 2 10

=

8

105

，
所以甲盒中白球增加的概率为P=P₁+P₂=

4

35

+

8

105

=

4

21

；
故甲盒中白球没有增加的概率为1-

4

21

=

17

21

．

点评：本题综合考查概率的计算，涉及的事件类型较多，要明确事件之间的关系，再选择对应的概率公式计算，尤其要注意（3）中，乙盒中小球数目的变化．