Question

【题目】已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【解析】

（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；

（2）先由（1）的结果，得到，，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.

（1）由题意可得，的定义域为，

由，

得，

显然单调递增；

又，，

故存在唯一，使得；

又当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

因此，存在唯一的极值点；

（2）由（1）知，，又，

所以在内存在唯一实根，记作.

由得，

又，

故是方程在内的唯一实根；

综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.