【题目】如图所示,圆锥的轴截面为等腰直角△SAB,Q为底面圆周上一点.
(1)若QB的中点为C,OH⊥SC,求证:OH⊥平面SBQ;
(2)如果∠AOQ=60°,QB=2,求此圆锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(Ⅱ)连接OC、AQ,由三角形中位线定理可得OC∥AQ,由圆周角定理我们可得OC⊥BQ,由圆锥的几何特征,可得SO⊥BQ,进而由线面垂直的判定定理,得到QB⊥平面SOC,则OH⊥BQ,结合OH⊥SC及线面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ;(Ⅱ)若∠AOQ=60°,易得∠OBQ=∠OQB=30°,又由我们求出圆锥的底面半径OA长及圆锥的高SO,即可得到圆锥的体积及表面积.
试题解析:(1)连接OC,∵SQ=SB,OQ=OB,QC=CB,
∴QB⊥SC,QB⊥OC,∴QB⊥平面SOC.
∵OH平面SOC,∴QB⊥OH,
又∵OH⊥SC,∴OH⊥平面SQB.
(2)连接AQ.∵Q为底面圆周上的一点,AB为直径,
∴AQ⊥QB.
在Rt△AQB中,∠QBA=30°,QB=2,
∴AB==4.
∵△SAB是等腰直角三角形,∴SO=AB=2,
∴V圆锥=π·OA2·SO=.
S侧=.
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【题目】设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为_____.
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【题目】若一个三角形的平行投影仍是三角形,则下列命题:
①三角形的高线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的高线;
②三角形的中线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中线;
③三角形的角平分线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的角平分线;
④三角形的中位线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中位线.
其中正确的命题有 ( )
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (θ为参数),直线l经过定点P(2,3),倾斜角为.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程和圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
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