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    函数y=2x3-6x2-18x+7的单调减区间为________．

    （-1，3）
    分析：根据原函数的导函数及利用导数研究函数的单调性，可得f'（x）＜0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可．
    解答：∵函数y=f（x）=2x3-6x2-18x+7，
    ∴f′（x）=6x2-12x-18，
    ∴由6x2-12x-18＜0可得：
    ∴x∈（-1，3）．
    故答案为：（-1，3）．
    点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分析和解决问题的能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•抚州模拟）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是


    1. A.
      y=x|x-2|
    2. B.
      y=x3-x+1
    3. C.
      y=2x3-3x2-6x-1
    4. D.
      y=7x4+28x+38

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    科目：高中数学 来源：2010年江西省抚州市高三质量检测数学试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

    称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（ ）
    A．y=x|x-2|
    B．y=x3-x+1
    C．y=2x3-3x2-6x-1
    D．y=7x4+28x+38

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    科目：高中数学 来源：2010年江西省抚州市高三质量检测数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（ ）
    A．y=x|x-2|
    B．y=x3-x+1
    C．y=2x3-3x2-6x-1
    D．y=7x4+28x+38

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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