Question

（2012•宝鸡模拟）已知函数f(x)=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0．设它们的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）试用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（3）求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）设公共点的坐标，求导函数，利用在该点处的切线相同，即可用a表示b；
（2）求导函数，确定F（x）的单调性，从而可求函数的极值；
（3）由（1）知，令h（t）=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0），求导数，确定函数的单调性，从而可得b的最大值

解答：解：（1）设公共点的坐标为（x₀，y₀），
求导函数f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，则f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
∴

1

2

x02+2ax0=3a2lnx0+b，x0+2a=

3a2

x0

∴x₀=a或x₀=-3a（舍去）
∴b=

5

2

a2-3a2lna；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)
∴F′（x）=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)
∴F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数
∴x=a时，F（x）有极小值0，无极大值；
（3）由（1）知，令h（t）=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）
当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0，
∴h（t）在（0，e

1

3

）上为增函数，在（e

1

3

，+∞）上为减函数
∴h（t）在（0，+∞）上的最大值即为最大值h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

即b的最大值为

3

2

e

2

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，正确求导，确定函数的单调性是关键．