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设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的偶函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=x3-ax(aR).

(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式;

(2)若a>3,试判断f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在a,使得当x∈(0,1]时,f(x)有最大值1?

答案:
解析:

分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.

解:(1)∵x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),

f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x3.

f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x3.

(2)f(x)在(0,1]上单调递增.理由如下:f′(x)=-3x2+a.∵x∈(0,1],∴x2∈(0,1].

∴-3x2≥-3.

a>3,∴-3x2+a>0.故f(x)在(0,1]上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈(0,1]时,f(x)有最大值1.

f′(x)=a-3x2.令f′(x)=0,∴-3x2+a=0,

a>0时,x.又∵x∈(0,1],∴x=<1.∴f′(x)在(0,)上大于0,在(,1)上不小于0.

f(x)极大值=

a=时,f(x)有最大值1.

绿色通道:关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.


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  1. A.
    恒为正数
  2. B.
    恒为负数
  3. C.
    恒为0
  4. D.
    可正可负

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