Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与X轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N^*，x_n为正数）．
（1）试用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记a_n=lg

xn+2

xn-2

，证明{a_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）=x²-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x₀，f（x₀））的切线方程，然后令y=0得到关系式x_n²+4=2x_nx_n+1，整理即可得到答案．
（2）首先确定

xn+1+2

xn+1-2

=

(xn+2)2

(xn-2)2

，再利用条件，即可得到数列{a_n}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{x_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x₀，f（x₀））的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n-4）=2x_n（x-x_n）
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n），即x_n²+4=2x_nx_n+1
显然x_n≠0，∴x_n+1=

xn

2

+

2

xn

（2）由x_n+1=

xn

2

+

2

xn

知x_n+1+2=

(xn+2)2

2xn

，x_n+1-2=

(xn-2)2

2xn

∴

xn+1+2

xn+1-2

=

(xn+2)2

(xn-2)2

∴a_n+1=lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n，其中a₁=lg3≠0
∴数列{a_n}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1lg3，即lg

xn+2

xn-2

=2^n-1lg3，
∴

xn+2

xn-2

=32n-1
∴xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．