Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$），其中常数ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（i）当ω=4，φ=$\frac{π}{6}$时，函数y=g（x）-4λf（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为$\frac{3}{2}$，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点-$\frac{2π}{3}$，且其图象过点A（$\frac{7π}{3}$，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质对称轴方程
（2）（i）求出g（x）的解析式，当ω=4，φ=$\frac{π}{6}$时，求函数y=g（x）-4λf（x），化简，结合三角函数的图象和性质在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为$\frac{3}{2}$，讨论，可求λ的值．
（ii）若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点-$\frac{2π}{3}$，且其图象过点A（$\frac{7π}{3}$，1），则有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，求解T的最大值．可得ω；图象过点A（$\frac{7π}{3}$，1），带入g（x）化简，求解φ，从而可得函数g（x）的解析式．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
（2）由函数g（x）=f（$\frac{ωx+φ}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（ωx+φ），
（i）当ω=4，φ=$\frac{π}{6}$时，函数y=g（x）-4λf（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）
=cos（4x-$\frac{π}{3}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=1-2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）=-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²．
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上，
则2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]．
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]．
当λ∈[-1，0]时，则有1+2λ²=$\frac{3}{2}$，解得：λ=$-\frac{1}{2}$；
当λ∈（0，+∞）时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=0时，y取得最大值，此时-2[sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ]²+1+2λ²=1，与题意不符．
当λ∈（-∞，-1）时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1时，y取得最大值，此时-2[1+λ]²+1+2λ²=-1-4λ=$\frac{3}{2}$，解得：λ=-$\frac{5}{8}$，不在其范围内，故舍去．
故得满足题意的λ的值为$-\frac{1}{2}$．
（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点-$\frac{2π}{3}$，
且其图象过点A（$\frac{7π}{3}$，1），则有$\frac{3}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=4π，∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$．
点（$\frac{7π}{3}$，1）在图象上，可得：$\frac{7π}{3}×\frac{1}{2}$+φ=2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=-$\frac{2π}{3}$不符合题意．舍去．
当$\frac{7}{4}T$=$\frac{7π}{3}-（-\frac{2π}{3}）$=3π，解得：T=$\frac{12π}{7}$．∴ω=$2π×\frac{7}{12π}=\frac{7}{6}$．
点（$-\frac{2π}{3}$，0）在图象上，$\frac{7}{6}×（-\frac{2π}{3}）$+φ=-π+2kπ．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．∴φ=$-\frac{2π}{9}$，
∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）
点（$\frac{7π}{3}$，1）在图象上，
验证：sin（$\frac{7}{6}×\frac{7π}{3}-\frac{2π}{9}$）=sin$\frac{π}{2}$=1符合题意．
故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（$\frac{7}{6}$x-$\frac{2π}{9}$）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．对存在的周期和最值的讨论，属于难题．