Question

20．已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F₁作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F₂为双曲线的右焦点，且AF₂⊥x轴，如图．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若|AB|=16，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值；
（Ⅱ）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2{a}^{2}}$=1，直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，求出线段AB的长，利用|AB|=16，求双曲线的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）将x=c代入双曲线的方程得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）
在△AF₁F₂中tan30°=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$
即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=$\sqrt{2}$a，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2{a}^{2}}$=1，
设直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$a）
将其代入双曲线方程消去y得，5x²+2$\sqrt{3}$ax-9a²=0，解之得x₁=-$\sqrt{3}$a，x₂=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a
将x₁，x₂代入①，得y₁=-2a，y₂=-$\frac{2}{5}$a，故A（-$\sqrt{3}$a，-2a），B（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a，-$\frac{2}{5}$a），
故|AB|=$\sqrt{（-\frac{8\sqrt{3}}{5}a）^{2}+（\frac{8}{5}a）^{2}}$=$\frac{16}{5}$a=16，
∴a=5，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{50}=1$．

点评 本题考查双曲线中三参数的关系：c²=a²+b²，考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．