Question

【题目】已知函数g(x)＝ (a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).

(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；

(2)判断函数f(x)的单调性.

Answer 1

【答案】(1) y＝3x;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）代入点（1，1），求得a=2，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，对a讨论，当a≥0时，当a<0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

试题解析：

(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.

(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋ (x＞－1)，

所以f′(x)＝＋＝.

①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，

故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；

②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，

故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；

由得x＞－1－a，

故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.

综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；

当a＜0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，

在(－1－a，＋∞)上单调递增.