Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，AB中点为C（x₀，0），求证：g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为-3，即f′（2）=-3，由函数f（x）=alnx-bx²得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=-3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；
（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；
（3）由点A（x₁，0），B（x₂，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x₁、x₂、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x₀、n的方程，由中点坐标公式转化关于x₁、x₂、n的方程，两方程消去n，得关于x₁、x₂的方程，整理此方程，分子分母同除以x₂，整理方程，右边为0，设t=

x1

x2

，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x₀）≠0．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f(2)=aln2-4b，
所以

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

，e]内，当x∈[

1

e

，1)时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数
则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e)≤0

即1＜m≤

1

e2

+2．
（3）g(x)=2lnx-x2-nx，g′(x)=

2

x

-2x-n．
假设结论成立，则有

2lnx1- x 2 1 -nx1=0，(1) 2lnx2- x 2 2 -nx2=0，(2) x1+x2=2x0，(3) 2 x0 -2x0-n=0，(4)

，
（1）-（2），得2ln

x1

x2

-(

x

2 1

-

x

2 2

)-n(x1-x2)=0．
所以n=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由（4）得n=

2

x0

-2x0，所以

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

，(5)，
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)．
则u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，
u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设矛盾，
所以g'（x₀）≠0．

点评：此题考查函数与方程的综合运用，求未知数的值，几个未知数需几个方程构成方程组求解；注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系，把未知量转化为一种形式，令一边为0，另一边再转化为函数，利用函数单调性解题；用反证法证明问题时，先假设结论不正确，得出与假设相反的结论，从而结论是正确的．