考点:三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题:三角函数的图像与性质,解三角形
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式和两角和公式对函数F(x)的解析式进行化简整理,利用三角函数的图象和性质,求得函数的最小正周期和单调增区间.
(Ⅱ)利用同角三角函数关系对原式进行化简,整理出关于tanx的形式,进而利用f(x)=2g(x)求得tanx的值代入.
解答:
解:(Ⅰ)∵g(x)=
cos(x+
)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)•g(x)+f
2(x)
=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(cosx+sinx)
2,
=cos
2x-sin
2x+1+2sinxcosx,
=cos2x+sin2x+1,
=
sin(2x+
)+1,
∴函数F(x)的最小正周期T=
=π,
当2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z)时,即kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z)时,F(x)单调增,
∴函数F(x)的单调递增区间为[kπ-
x,kπ+
](k∈Z),
(Ⅱ)由题意,cosx+sinx=2(cosx-sinx),
得:tanx=
,
∴
=
cos2x+2sin2x |
cos2x-sinxcosx |
=
=
.
点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的图象和性质.对三角函数化简时一般是直接应用公式进行降次、消项,切割化弦,异名化同名,异角化同角等.