Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{{x^2}+x+a}），x≥1\\ 1-{x^2}，x＜1\end{array}\right.$的值域为R，则常数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （-2，-1]
• C． （-2，0]
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 利用分段函数，通过函数的值域范围，列出不等式求解即可．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{{x^2}+x+a}），x≥1\\ 1-{x^2}，x＜1\end{array}\right.$，
当x＜1时，f（x）=1-x²≤1，
∴x≥1时，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+x+a）$的最小值小于1，
因为y=x²+x+a的开口向上，对称轴为x=$-\frac{1}{2}$，当x≥1时，函数是增函数，最小值为：f（1）=2+a．
可得：log₂（2+a）≤1，解得a∈（-2，0]．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的值域以及二次函数的单调性最值的求法，考查转化思想以及计算能力．