Question

选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=m，求证

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．

Answer 1

分析：（I）根据基本不等式的性质可分别求得a₁+a₂+a₃和

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

的最小值，两式相乘即可求得 (

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)•m的最小值，整理后原式得证．
（II）ax²+by²乘以一个：“1=a+b”后得：（ax²+by²）（a+b）=a²x²+b²y²+ab（x²+y²）≥a²x²+b²y²+2abxy=（ax+by）²

解答：证明：（I）∵(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)•m=(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥3

3	a1•a2•a3

•3

3	1 a1 • 1 a2 • 1 a3

=9，
当且仅当 a1=a2=a3=

m

3

时等号成立．
又∵m=a₁+a₂+a₃＞0，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．
（II）ax²+by²=（ax²+by²）（a+b）=a²x²+b²y²+ab（x²+y²）≥a²x²+b²y²+2abxy=（ax+by）²．…（10分）

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的时候要特别注意等号成立的条件．