Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组 成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，

所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：函数f（x）为奇函数，

证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣loga（1+x）+loga（1﹣x）=﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x）

所以函数f（x）为奇函数

【解析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组 ，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．