【题目】已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)求证：当
时，
.
【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；
(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.
(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝2x-2
=
，
由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1
∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．
(2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，
∴g′(x)＝2x-2--3=
，
∵当x>2时，g′(x)>0，
∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，
∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时
..
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（本小题满分12分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
、
、
、
，且各轮问题能否正确回答互不影响。
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为
，求随机变量的分布列和期望。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[
，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
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