Question

某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以20km/h的速度向北偏西θ方向移动（其中cosθ=

19

20

），台风当前影响半径为10km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？

Answer 1

分析：设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，进而可表示出t小时后台风经过的路程，根据余弦定理表示

AC

，根据CD≥AC求得t的范围，进而可推断出7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时．

解答：解：如图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程PC=（20t）km，台风半径为CD=（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC；

AC

2=(

PC

-

PA

)2=

PC

2+

PA

2-2

PA

•

PC

|

AC

|2=|

PC

|2+|

PA

|2-2|

PA

|•|

PC

|•cosθ=2002+(20t)2-2•200•20t•

19

20

=40000+400t2-7600
∴40000+400t²-7600t≤CD²=（10+10t）²
整理得300t²-7800t+39900≤0
即t²-26t+133≤0解得7≤t≤19
∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时．

点评：本题主要考查了余弦定理的实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．