Question

已知平面向量

a

=(cosφ，sinφ)，

b

=(cosx，sinx)，

c

=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函数f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx的图象过点(

π

6

，1)．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据两个向量数量积的坐标公式求出

a

•

b

以及

b

•

c

，再代入f（x）求出f（x）的表达式；根据图象过点(

π

6

，1)即可求出φ的值；
（2）根据函数图象的变换规律求出函数y=g（x）的表达式，再根据变量的范围结合函数的单调性即可求出函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x)…（1分）

b

•

c

=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(x-φ)…（2分）
∴f（x）=（

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ），…（4分）
即f（x）=cos（2x-φ）
∴f（

π

6

)=cos(

π

3

-φ）=1，
而0＜φ＜π，
∴φ=

π

3

．                            …（6分）
（2）由（1）得，f（x）=cos（2x-

π

3

），
于是g（x）=cos（2（

1

2

x)-

π

3

），
即g（x）=cos（x-

π

3

）．                  …（9分）
当x∈[0，

π

2

]时，-

π

3

≤x-

π

3

≤

π

6

，
所以

1

2

≤cos(x-

π

3

）≤1，…（11分）
即当x=0时，g（x）取得最小值

1

2

，
当x=

π

3

时，g（x）取得最大值1．            …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的平移以及向量的数量积．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．