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如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体.
(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明);
(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写出一个这样的四面体(不要求证明);
(3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的四面体(不要求证明),并计算它的体积与长方体的体积的比.

【答案】分析:(1)如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD;该四面体的四个面都是直角三角形;
(2)如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD;该四面体的任一对对棱垂直;
(3)如四面体A-B1CD1;设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,其中四面体A-B1CD1的体积等于长方体的体积减去4个角上的三棱锥的体积即得.
解答:解:(1)如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD;---(4分)
(2)如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD;-------------------------(8分)
(3)如四面体A-B1CD1((3分) );-------------------------(11分)
设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则.---------(14分)
点评:本小题主要考查棱锥的结构特征、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识,考查空间想象能力,考查数形结合思想,属于基础题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.已知点B1的坐标是(2,1,1).
(1)证明向量
AD1
A1C1
BA1
是共面向量;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求二面角C-AC1-D的平面角的余弦值.

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(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明);
(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写出一个这样的四面体(不要求证明);
(3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的四面体(不要求证明),并计算它的体积与长方体的体积的比.

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(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的四面体(不要求证明),并计算它的体积与长方体的体积的比.

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(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写出一个这样的四面体(不要求证明);

(3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的四面体(不要求证明),并计算它的体积与长方体的体积的比.

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