Question

1．设f₁（x）=$\frac{2}{1+x}$，f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），且a_n=$\frac{{f}_{n}（0）-1}{{f}_{n}（0）+2}$，则a₂₀₁₄的值为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴
• D． （-$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 由题意推导出数列{a_n}是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，由此能求出a₂₀₁₄．

解答 解：由题意可得f₁（0）=$\frac{2}{1+0}$=2，
a₁=$\frac{{f}_{1}（0）-1}{{f}_{1}（0）+2}$=$\frac{2-1}{2+2}$=$\frac{1}{4}$，
∵f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴${a}_{n+1}=\frac{{f}_{n+1}（0）-1}{{f}_{n+1}（0）+2}$=$\frac{{f}_{1}[{f}_{n}（0）]-1}{{f}_{1}[{f}_{n}（0）+2]}$=$\frac{\frac{2}{1+{f}_{n}（0）}-1}{\frac{2}{1+{f}_{n}（0）}+2}$
=$\frac{1-{f}_{n}（0）}{4+2{f}_{n}（0）}$=$\frac{1}{2}•\frac{{f}_{n}（0）-1}{{f}_{n}（0）+2}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a₂₀₁₄=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{2}）^{2014}$=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．
故选：B．

点评 本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及等比数列的性质的合理运用．